It's all in your mind

В книжном клубе на март была запланирована «Апология математики». В процессе поиска книги выяснилось, что это классический «салат рекурсивный: огурцы, помидоры и вчерашний салат». В том смысле, что под этим названием Успенский выпустил сборник своих статей, одна из которых тоже называется «Апология математики», и которую тоже можно найти в сети отдельным изданием.

Книгу подавали как «книгу о математике для читателей-нематематиков». Мне понравилось, но такое ощущение, что описание составляли по первой статье, которая действительно понятная и интересная. Но потом автор внезапно пошёл в такие дебри, что я с удовольствием пыхтел, выпускал их ушей пар и ехидно думал, что из этого понимают «читатели-нематематики». Мой любимый пример, прямая цитата «Как же так? — воскликнет читатель. — А аксиомы Пеано?» Лично я про существование аксиом Пеано узнал уже после института, из какого-то совсем глубокого научпопа. На Физтехе нам такого не проходили, но и научпоп мне удавалось понять исключительно из-за того, что всю жизнь только математикой увлекаюсь.

---

Из того, что понравилось лично мне. В первой статье автор хорошо проходится по различию языков условного «математика» и «нематематика». Чтобы не возникало ощущения, что он пытается раздавать людям правильные колокольчики в нос, приведу тот же самый пример, который приводит он.

Если спросить «человека с улицы», в чём состоит вклад Лобачевского в науку, в подавляющем большинстве случаев ответ будет таким: «Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются» (в более редком и изысканном варианте: «Лобачевский открыл, что параллельные прямые могут и пересечься»). Тогда надо немедленно задать второй вопрос: «А что такое параллельные прямые?» — и получить ответ «Параллельные — это такие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются».

Тут фишка, конечно же, не в том, кто помнит правильное определение геометрии Лобачевского. Я, например, совершенно не помнил, и ответил бы точно так же. Фишка в реакции на вторую фразу. Если вы начинаете нервно хихикать, понимая, что что-то тут не так — вас Успенский считает «математиком», то есть человеком, прекрасно понимающим понятия «определения», «свойства», «противоречивости», ну и всё остальное до кучи. А если вы продолжаете стоять на своём (ну да, по определению не пересекаются, а у Лобачевского пересекаются! за это его и ценят), то наоборот, не так уж и важно, где именно вы учились. То есть это скорее про способность принять правила и играть по ним буквально, даже если правила очень необычны, и результат неверен в реальной жизни.

Так вот, про отличие языка «математика» от языка «нормального человека». Успенский приводит прекрасный пример слова «неподалёку». Когда я сижу за столом с женой, я могу сказать «я нахожусь неподалёку от жены», и эта фраза одинаково понимается всеми. Но можно ли сказать «я нахожусь неподалёку от самого себя»? Выражаясь математическим языком, входит ли нулевое расстояние в зону определения признака «неподалёку»? (не будем о другом конце этого признака — начиная со скольки метров «неподалёку» становится «далеко» — это совсем другая тема)

Этот вопрос напоминает анекдот (его Успенский тоже цитирует) про «купи багет, а если будут яйца, то возьми дюжину» — есть буквальное понимание слов, а есть общепринятое. И можно спорить до хрипоты о том, кто прав. А можно просто понять, что бывает другое прочтение этого же слова, и учитывать его. Я на этом месте вспомнил, как в детстве меня жутко раздражало, когда меня поправляли после фразы, что мой папа на меня похож. Нет, говорили мне, это не папа на тебя похож. Это ты на него похож. Я пытался объяснить всему миру, что нет же, свойство «похожести» симметрично. Если A похоже на B, то и B похоже на A. Детство Шелдона. С возрастом я просто перестал пытаться убедить весь мир, но продолжал верить в собственную правоту. А после этой книги понял, что оба определения верны. «Похож» с точки зрения «математического текста» — это просто свойство похожести, как понимал его я. А «похож» с точки зрения обыденной речи — это то же самое, но ещё и намёк на причину этой похожести в придачу. Это более размытое, но одновременно и более богатое определение.

То есть дело даже не в том, что «надо воспринимать людей, такими, какие они есть» (тоже полезное, но такое же снобское высказывание, как и мои попытки доказать всем их неправоту). Дело именно в том, что это «другое определение» в чём-то может быть даже лучше моего. Ну или как минимум, оно так же хорошо. Именно за счёт этого обогащения, которое происходит из-за размывания. Не математикой единой.

---

В другом месте книги Успенский снова возвращается к вопросу «чем прославился Лобачевский», но по другому поводу. Он говорит о том, как живучи какие-то мифы. О том, что есть какие-то верования / высказывания, которые практически невозможно опровергнуть фактами или логикой. И речь даже не о религии, которая принципиально строится на невозможности её доказательства или опровержения. Речь о каких-то простых понятиях, которые вошли в обиход (мемы, культура), и которые живут уже даже без какого-то определённого носителя, тем более продвигающего их центра.

Я тут же вспомнил про «Пауэлл показывал колбочки, чётко зная, что там нет никакого иракского оружия» и «Милошевича оправдали после смерти». Вот казалось бы, и то, и другое опровергаются за 5 минут. Просто потому, что и то, и другое — высосанные из пальца «факты», и простая проверка покажет, что это не так (Пауэлл говорил «вот такого количества было бы достаточно...», а про Милошевича написали «суд не располагает никакими данными об участии его в...» — по поводу совершенно другого дела). Но ведь нет, эти два мема живут, и нас всех ещё переживут. Что уж говорить о «вызываемом вакцинами аутизме» или «заговоре Рокфеллеров», которые невозможно опровергнуть так же элементарно. И что с этим делать, совершенно непонятно. Так и будем восхвалять Лобачевского за то, что он разрешил пересекаться параллельным прямым. И хихикать над ботинком Хрущёва в ООН.

Ну и в очередной раз опускаются руки перед эффективностью пропаганды, запускающей мириады «альтернативных версий» для Боинга или Бучи. Мифы, которые активно продвигает некий заинтересованный в их существовании «центр», выглядят совсем уж непобедимыми. Каждого конкретного человека ещё можно переубедить, но за это время в миф успеют поверить 100500 других.

Примерно на ту же тему, байка о форме сиденья для унитаза. В какой-то момент Успенский уточняет читателю, что такое тор: это примерно как спасательный круг или сиденье на унитазе. Второй пример он вставил явно для того, чтобы иметь возможность написать сноску: «В советское время сиденья для унитаза имели другую форму — с прорезью спереди. Этот образ важнейшего предмета повседневной жизни настолько въелся в сознание советских людей, что иные и сегодня, будучи спрошены, полагают, что в их квартире сиденье имеет прорезь, и приходят в изумление, обнаружив отсутствие таковой.» Не знаю, насколько репрезентативен этот анекдот, да и не так уж это и важно. Но хорошо в качестве иллюстрации того, что у нас в головах не только реальность, но и наша память / наш личный опыт / наши личные страхи, активно эту реальность перерабатывающие.

---

Ещё одна статья была про разные методы математического доказательства. Что такое вообще «математическое доказательство» (тема моего рассказа в прошлом осеннем лагере, здесь рано или поздно будет на него ссылка, но Успенский тоже проходится над разницей доказательства «невозможности» и доказательства «невероятности», и тоже много говорит о важности понимания разницы между математикой модели и реальностью того, что описывает эта модель), и какие бывают варианты доказательств. В этой статье я с удовольствием осознал, что к теореме Пифагора есть обратная теорема: если у нас есть числа a, b и c такие, что a² + b² = c², то треугольник со сторонами a, b, c будет прямоугольным. Успенский пишет, что этот нюанс часто опускают в школе, не подчёркивая детям важность видеть возможность неэквивалентности условия и ответа. Подтверждаю, конкретно этот случай нам то ли не показывали, то ли лично я его забыл. Не знаю, правда, насколько это действительно важно для формирования «правильного взгляда» на математику.

А ещё была статья о том, что на самом деле доказал Перельман «грибы дороже долларов» (ну и заодно, к вопросу о мифах, от чего он именно отказался, и как это осело в наших головах). Это, наверное, моя самая любимая статья, потому что я настолько далёк от этой темы, что вот тут у меня голова реально пыхтела. Понятно, что Успенский даже не пытался пересказать доказательство. Он всего лишь взял определение гипотезы Пуанкаре «всякое односвязное трёхмерное компактное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере» и написал по главе на каждое слово, с объяснением, что обозначает это слово.

У меня никогда не было проблем с «представлением» многомерных пространств. Ещё в школе мне кто-то рассказал, как понимать «5-мерный куб» или «7-мерный шар», просто на уровне «набора точек с определёнными координатами». С базами данных это стало ещё проще — ты не только хранишь многомерные данные (представим себе табличку продаж с ключом: продавец + покупатель + товар + дата — это уже 4-мерный куб), но и с лёгкостью работаешь с какими-то операциями. Выборка всех продаж одного продавца в определённый год (по покупателям и по товарам) — это срез нашего 4-мерного куба 2-мерной плоскостью. Сумма за все годы всех продаж продавца (по покупателям и по товарам) — проекция среза этого куба 3-мерной плоскостью на 2-мерную. Ну и так далее. В этом смысле прекрасна игрушка Сет, которая может быть переформулирована следующим образом: «Перед вами лежит некоторое количество точек 4-мерной сферы, найдите три точки, лежащие на одной прямой» — и ничего, даже дети играют!

А ещё на этой статье я внезапно понял, что такое «бутылка Клейна». То есть, я понимал, что это «что-то типа ленты Мёбиуса в 3-мерном пространстве», но при этом смотрел на картинки и ничего не понимал. Даже видел когда-то в институте Пуанкаре модель бутылки, но без объяснения не смог понять, в чём фишка. А с Успенским наконец-то понял — фишка в том, что как лента Мёбиуса не получается без выворачивания её через 3-мерное пространство, так и бутылка Клейна не получается без выворачивания её через 4-мерное пространство. И всё то, что мы видим в качестве иллюстрации, это всего лишь неловкие иллюстрации. А тут я понял не только настоящее определение, но и, задним числом, лекцию papa_lyosha в Австрийском лагере 2018 года. Когда он рассказывал о возможных вариантах сворачивания 2-мерного пространства, рисовал стрелочки и просил нас представить это и решать какие-то задачки. Надо попросить его прочитать её на бис в этом году :-)

---

На встрече клуба понравилось сравнение «читать эту книгу, как мы читаем исландские саги». В смысле: ничего непонятно, но боже мой, как красиво! В этот момент кто-то вспомнил Vita nostra, и я совершенно с ним согласился. Это была именно такая красота (правда, в этом случае так и задумывалось, — но кого всё ещё интересует «что хотел сказать автор»?), когда ничего не понятно, но очень, очень красиво.

А я со своей стороны вспомнил «Гёдель, Эшер, Бах», которого снова захотелось перечитать. Мне кажется, это примерно такого же настроя книга: дать людям, не занимавшимся математикой, возможность прикоснуться к красоте математики. Только в отличие от Успенского, у Хофштадтера получилось сделать бестселлер.

---

А потом, уже по инерции прочитал сборник интервью «Математические прогулки» (друзья, признайтесь, кто нам дал почитать эту книгу? ужасно стыдно, но я не помню, кому её нужно возвращать?), в том числе есть и интервью Успенского. Который отметился прекрасными сносками, например, на «Аль-Хорезми» стоит сноска «محمد بن موسیٰ خوارزمی — основатель классической алгебры». Не знаю, кто хотел выпендриться (автор, редактор или типограф), но, кажется, не получилось — арабские символы правильные, но в книге они стоят слева направо. Ещё круче сноска на «ритм барабана» во фразе про «Болеро» Равеля, там просто стоит ноты — не знаю даже, что амибициознее: считать читателя способным читать персидские имена собственных, или партитуру.

Очень интересное ощущение от книги. С одной стороны, у меня так и не получилось сформулировать, о чём она. Ну ходят, ну разговаривают. Ни один из разговоров — ни о чём. Ни пересказать, ни подумать о чём-то, ни продолжить. Но при этом — и не оторваться! Вот бывает такое, когда ты случаешь разговор приятных людей, и не хочется, чтобы он заканчивался. Но у меня обычно такое бывает, когда тема интересная (подкасты France Culture в этом смысле просто молодцы) — а тут буквально на пустом месте. Очень интересный эффект!

Запомнился один товарищ, который несколько лет жил в США, но после войны 2003 года понял, что не может жить в стране, где массово поддерживают ну вот настолько иррациональную агрессию. Вернулся в Россию. Я не злорадствую, я искренне понимаю этого человека. Но ситуация настолько же смешна, как история японца, который был в командировке в Хиросиме во время ядерной бомбардировки. Выжил и в ужасе поспешил из этого ада назад, домой, в Нагасаки.

А другой рассказчик пересказывает прекрасную историю о том, как в 2011 году после какой-то демонстрации к ним в баре подошёл мужик, завязал разговор на тему митингов, политики и вообще. Он, типа, тоже хотел пойти на митинг, но в итоге не пошёл — он с Путиным не согласен, но против Путина сейчас (тогда) столько агрессии в общественном пространстве, что ему стало Путина жалко. Мужики слушают и офигевают: где ты нашёл столько агрессии против Путина? Да в Интернете! Открыл поисковик, набрал «Путин — сука», и вы не поверите! Столько агрессии, столько агрессии...

Книга выпущена Сколтехом, поэтому его там цитируют через страницу. А потом — в порядке, как мне показалось, убывания частоты упоминаний, — ВШЭ, МГУ и Физтех. А по странам было бы интересно проанализировать как-то объективно, но показалось, что чаще всего (после России) упоминали Францию, даже чаще Америки. А все остальные страны — сразу на порядок реже.